Control lineal avanzado y control óptimo

Carlos Nicolas Rautenberg, Carlos Enrique D'Attellis

 

Prólogo

"El prólogo, cuando son propicios los astros, no es una forma subalterna del brindis; es una especie lateral de la crítica"

J. L. Borges

El texto que se presenta supone un interés en el tema de Control iniciado en alguno de los cursos clásicos que se dictan sobre el mismo, aunque también puede ser leído por quienes desean iniciarse en el tema desde un punto de vista moderno. En efecto, el texto intenta ser autocontenido, aunque el lector deba recurrir ---como es inevitable--- a algunas referencias citadas en la bibliografía para completar ciertos aspectos de la exposición.

La estructura del libro es lo que comentaremos a continuación.

Está dividido en dos partes. Parte Primera: Control Lineal, expuesta en seis Capítulos; Parte Segunda: Control óptimo, compuesta por tres Capítulos.

Los Capítulos, en su mayoría y cuando corresponde, tienen problemas que obran de motivadores de las ideas que se explican. Poseen además, ejemplos que se desarrollan completamente, ejercicios al final de cada uno de los capítulos, y, al fin del libro, un Apéndice con comandos útiles tanto del MATLAB como del MATHEMATICA para los cálculos y las simulaciones realizadas, y otro Apéndice con principios y teoremas fundamentales de la transformada de Laplace. Al comienzo, y para facilitar la lectura, se incluye un listado de la simbología utilizada.

La primera parte comienza con la descripción de los sistemas lineales e invariantes. La convolución aparece entonces, como la operación ligada a la representación de los mismos.

Pero aquí surge algo interesante que, en general, no es tratado en los libros de control. Es el concepto de la "delta de Dirac", básico en sistemas lineales, pero casi nunca bien explicado.

Resulta poco coherente enseñar la teoría de control contradiciendo los principios básicos del análisis matemático aprendidos en el primer curso de cálculo. Efectivamente, los alumnos de estos cursos saben que si se cambia el valor de una función f(x) solo en un punto, la integral de f(x) entre a y b no cambia de valor; también saben que si una función no es continua en un punto no tiene derivada allí, porque se les demostró, entre los resultados elementales, que una función derivable es continua. Curiosamente, al avanzar en sus estudios pasan a aceptar que la "delta" es

una función que es no nula en sólo un punto, pero que su integral vale uno; y que la derivada de la función escalón en el origen es una "delta". Estas contradicciones son evitadas en el libro presentado, ya que desde el Capítulo 1 se le da el marco adecuado: la teoría de distribuciones o funciones generalizadas. Dentro de ella, expuesta en forma tal que sea comprensible con los elementos usuales de los cursos de análisis matemático, se definen las operaciones de convolución y transformada de Laplace. Así, desaparece el misterio de la delta de Dirac, tan usada, pero con fundamentos tan endebles como los que comentamos antes.

Si la observación anterior se refiere al mal use del análisis en los fundamentos de la teoría de sistemas y control, la que sigue se referirá a los conocimientos de Álgebra que se necesitan. Los cursos usuales de Álgebra en las Facultades de Ingeniería, no incluyen, en general, los tópicos que son importantes en el análisis de los sistemas lineales y el control. El Capítulo 2 se ocupa de ellos, tratando formas cuadráticas, funciones de matrices, normas matriciales, todos usados inevitablemente, en los capítulos siguientes.

Esto completa una visión de la descripción de los sistemas lineales e invariantes, que resulta, a la vez, rigurosa en su fundamentación y autocontenida. En efecto, el lector puede abordar los temas tratados sin recurrir a otras fuentes. Desde las definiciones básicas hasta las demostraciones de los resultados necesarios en el desarrollo, figuran en el texto.

Los tres capítulos restantes de la primera pare completan el tema de Control Lineal con tres tópicos ineludibles: estabilidad, controlabilidad y observabilidad.

En el primero, la estabilidad de Liapunov es vinculada con la medida de matrices, algo que no es usual, creemos, encontrar en los textos. Los otros dos, controlabilidad y observabilidad, son abordados desde ejemplos que motivan la definición de los conceptos y la solución de los problemas planteados. En el caso de la observabilidad se incluyen los filtros de Kalman basados en consideraciones geométricas.

La Parte Segunda pasa a temas de control sin la restricción de la linealidad de los sistemas controlados, con el objetivo de dar una visión más amplia, que contenga tanto la nolinealidajd de los procesos, como la optimización en el diseño de los controladores.

En el Capitulo 6 se trata el tema del regulador lineal-cuadrático, la ecuación de Riccati; es decir, la teoría del regulador óptimo. Los otros dos dan una visión histórica del tema de optimización: desde el Cálculo de Variaciones hasta el Principio del Máximo de Pontriaguin. Esto incluye ejemplos que muestran la aplicación de la teoría.

En todos los capítulos en los que corresponde se muestran las aplicaciones de los resultados demostrados mediante simulaciones computacionales.

Carlos Enrique D'Attellis

 

El germen de este libro es el conjunto de los apuntes del inusual curso de Sistemas y Control dictado por el Dr. Carlos Enrique D'Attellis desde el ano 2001, en la Universidad Favaloro y del cual, agradecidamente, soy parte. El desarrollo del mismo involucra dos partes, la primera se extiende sobre la teoría moderna de control de sistemas lineales y la segunda parte abarca los sistemas no lineales de control desde la perspectiva geométrica.

El libro, justifica su existencia en algunas carencias que posee la bibliografía (especialmente en castellano) sobre tópicos trascendentes:

a) El desarrollo y la aplicación de la teoría de las distribuciones (funciones generalizadas) en los sistemas lineales de control. La teoría ofrece una forma de trabajar con la delta de Dirac, y con controles distribucionales, de manera de no engendrar las contradicciones que se obtienen con el use de la delta de Dirac en la teoría clásica