Introducción a la teoría de control robusto - Segunda Edición
Ricardo S. Sánchez Peña
Índice General
1 Introducci6n 1
- 1.1 Problema general de Control ........................................................... ...1
- 1.1.1 Experimentac ió n ............................................................................ 1
- 1.1.2 Simulación ........................................................................................ 2
- 1.1.3 Teoría ............................................................................................... 2
- 1.1.4 Ejemplo ……………………………………………………………….… 3
- 1.2 ¿Por que realimentar? …………………………………………………………..... 4
- 1.3 Objetivos de una teoría aplicada…………………………………………8
- 1.4 Compromisos dentro del lazo .............................................................. 10
- 1.5 Perspectiva Histórica ............................................................................ 12
- 1.6 Objetivos del texto ............................................................................... 14
2 Sistemas univariables 17
- 2.1 Introducción ........................................................................ ... 17
- 2.2 Estabilidad nominal ............................................................................... 17
- 2.3 Estabilidad robusta ................................................................................ 19
- 2.3.1 márgenes de Fase y Ganancia .............................................................. 19
- 2.3.2 Incertidumbre dinámica global ............................................................ 23
- 2.4 Performance nominal ................................................................................ 29
- 2.4.1 Perturbaciones conocidas ....................................................................... 29
- 2.4.2 Perturbaciones acotadas a la salida ......................................................... 30
- 2.4.3 Otros criterios de performance ................................................................ 33
- 2.5 Performance robusta ................................................................................. 34
- 2.6 Extensiones a Sistemas Multivariables ......................................................... 39
- 2.7 Problemas .................................................................................................... 43
3 "Loop shaping" multivariable 47
- 3.1 Introducción .................................................................................. 47
- 3.2 Estabilidad nominal ( ? = 0) 49
- 3.3 Performance nominal ( ? = 0) ...................................................................... 50
- 3 .4 Estabilidad robusta ( ? ? 0) 51
- 3.5 Performance robusta ( ? ? 0) ........................................................................... 53
- 3.5.1 Incertidumbre a la salida .............................................................................. 54
- 3.5.2 Incertidumbre a la entrada ......................................................................... 55
- 3.6 Método de diseño ........................................................................... ………………36
- 3.7 Otros métodos de diseño ..................................................................... … .........59
- 3.8 Problemas ............................................................................................................60
4 Control Moderno "clásico" 63
- 4.1 Introducción ............................................................ 63
- 4.2 Ubicación de Polos ............................................................................................... 64
- 4.3 Determinístico vs. Estocástico ............................................................................... 66
- 4.4 Regulador optima Lineal ........................................................................................ 68
- 4.4.1 Introducción ...................................................................................................... …. 6S
- 4.4.2 Caso lineal Determinístico ............................................................................... …. 70
- 4.4.3 Caso lineal Estocástico ..................................................................................... …. 74
- 4.5 Observador Óptima lineal ......................................................................................... 75
- 4.5.1 Interpretación Estocástica ……………………………………………. .......... 76
- 4.6 Dualidad y Equivalencias ........................................................................................... 78
- 4.7 Propiedades robustas ................................................................................................ 79
- 4.8 optimo con realimentación de salida ......................................................................... 82
- 4.9 Problemas .................................................................................................................. 85
5 Diseño en tiempo y frecuencia 89
- 5.1 Introducción 89
- 5.2 LQG/LTR ....................................................................................................................... 90
- 5.2.1 Planteo ..................................................................................................................... …. 90
- 5.2.2 Aplicación a la Turbina F-100 .............................................................................. ….. 94
- 3.3 LQG en el dominio de la frecuencia .................................................................................... 99
- 5.3.1 Aplicación al diseño de un autopiloto .......................................................... ….103
6 Control optimo en H 2 y H 8 111
- 6.1 Introducción ........................................................................................................................ 111
- 6.2 M-minimización de la salida ............................................................................................... 112
- 6.3 Lemas -preliminares ............................................................................................................ 115
- 6.4 Control optimo en H 2 ………………………………………………………………………………………. 117
- 6.4.1 Problemas especiales ....................................................................................... … 118
- 6.4.2 Computo del control óptimo en H 2 ................................................................................. ….. 124
- 6.5 Control optimo en H 8 .......................................................................................................... 127
- 6.5.1 Computo de la norma. I"'026B30D • I"'026B30D, .......................................... … 127
- 6.5.2 Solución del problema de Control optimo en H 8 ......................................... … 128
- 6.5.3 Aplicación a1 diseño de un autopiloto ......................................................... …. 130
- 6.6 Problemas ............................................................................................................................. 135
7 Aproximación de Modelos 137
- 7.1 Introducción ………………………………….. 137
- 7.2 Enfoque Geométrico …………………………………………………………….. 138
- 7.2.1 Espacio Controlable Observable ..................................................................... … 138
- 7.2.2 Direcciones preferenciales .............................................................................. …. 140
- 7.3 Valores Singulares de Hankel ............................................................................................ 146
- 7.3.1 Sistemas Continuos .............................................................................................. 146
- 7.3.2 Sistemas Discretos ............................................................................................... 147
- 7.3.3 Operadores de Hankel .......................................................................................... 148
- 7.4 Reducción de Modelos ...................................................................................................... 152
- 7.4.1 Introducción .......................................................................................................... 152
- 7.4.2 Realizaciones Balanceadas .................................................................................. 154
- 7.4.3 Truncamiento ........................................................................................................ 156
- 7.5 Algoritmos ........................................................................................................................... 160
- 7.6 Problemas ............................................................................................................................. 162
8 Descripción Fraccional de Sistemas 165
- 8.1 Introducción ........................................................................................................................ 165
- 8.2 Matrices de Polinomios ..................................................................................................... 165
- 8.2.1 Definiciones ........................................................................................................... 165
- 8.2.2 Descripción fraccional ......................................................................................... 169
- 8.3 Ceros v Polos multivariables ............................................................................................ 173
- 8.3.1 Forma de Smith-McMillan .................................................................................. 173
- 8.3.2 Definiciones equivalentes .................................................................................. 174
- 8.4 Matrices de Transferencia .................................................................................................. 177
- 8.5 Fracciones coprimas en variables de estado .................................................................. 179
- 8.5.1 Estructura de la realización ................................................................................. 179
- 8.5.2 Estabilización ........................................................................................................ 183
- 8.5.3 Resultados ............................................................................................................ 185
- 8.6 Controladores estabilizantes ............................................................................................. 186
- 8.6.1 Sistemas bien planteados ................................................................................... 186
- 8.6.2 Estabilidad interna ............................................................................................... 188
- 8.6.3 Parametrizacion ..................................................................................................... 190
- 8.7 Aplicaciones del planteo algebraico ................................................................................ 193
- 8.7.1 Controlador de dos grados de libertad ............................................................. 193
- 8.7.2 Perturbaciones dive rg entes ................................................................................ 195
- 8.7.3 Ejemplo .................................................................................................................. 199
- 8.8 Problemas ............................................................................................................................ 202
9 Incertidumbre Estructurada 205
- 9.1 Introducción ....................................................................................................................... 205
- 9.2 Margen de Estabilidad ...................................................................................................... 207
- 9.3 Incertidumbre dinámica estructurada .............................................................................. 210
- 9.3.1 Computo ............................................................................................................... 210
- 9.3.2 Análisis y Síntesis ............................................................................................... 213
- 9.4 Incertidumbre paramétrica ................................................................................................ 216
- 9.4.1 Introducción ......................................................................................................... 216
- 9.4.2 Teorema de Kharitonov ……………………………………………….218
- 9.4.3 Estructuras afines ............................................................................................... 222
- 9.4.4 Estructuras multilíneales particulares .............................................................. 225
- 9.4.5 Estructuras paramétricas generales ......................................................................... 227
- 9.5 Incertidumbres combinadas ........................................................................... 238
- 9.5.1 Planteo del Problema ............................................................................................ 238
- 9.5.2 Computo ................................................................................................................. 240
- 9.5.3 Ejemplo ................................................................................................................... 242
- 9.6 Problemas ............................................................................................................ 244
10 Aplicaciones 247
- 10.1 ANALISIS PARXMETRICO ........................................................................................... 247
- 10.1.1 Modelo linealizado .............................................................................................. 247
- 10.1.2 Resultados ............................................................................................................ 252
- 10.2 SIN TESIS EN H 8 , .................................................................................................. 254
- 10.2.1 Modelo .................................................................................................................. 254
- 10.2.2 Diseño ................................................................................................................... 258
- 10.2.3 Resultados ............................................................................................................ 259
- 10.3 SINTESIS- .................................................................................................. 261
- 10.3.1 Hipótesis y Modelo ............................................................................................. 261
- 10.3.2 Diseño ................................................................................................................... 263
- 10.3.3 Resultados ............................................................................................................ 263
- 10.4 RETARDOS DE TIEMPO ................................................................................................ 266
- 10.4.1 Modelo matemático de la Planta ........................................................... 266
- 10.4.2 Modelo (computacional) reducido .................................................................... 267
- 10.4.3 Análisis Robusto del sistema ............................................................................ 268
- 10.4.4 Diseño del Controlador ....................................................................................... 274
- 10.5 PLANTA DIAL CONDICIONADA ................................................................................ 276
- 10.5.1 Introducción ......................................................................................................... 276
- 10.5.2 Destilación de Alta Pureza ................................................................................. 277
- 10.5.3 Diseños del controlador ..................................................................................... 279
A Fundamentos matemáticos 285
- A .1 Estructuras algebr6icas .............................................................................. 285
- A.1.1 Grupo ...................................................................................................................... 285
- A.1.2 Anillo ...................................................................................................................... 286
- A.1.3 Cuerpo .................................................................................................................... 286
- A.1.4 Espacio vectorial .................................................................................................. 287
- A.2 Espacios de funciones ...................................................................................................... 289
- A.2.1 Introducción .......................................................................................................... 289
- A.2.2 Espacios de Banach y Hilbert ............................................................................. 290
- A.2.3 Espacios de señales v transferencias ................................................................ 290
- A.3 Transformaciones Lineales .............................................................................................. 292
- A.3.1 Núcleo y Rango .................................................................................................... 292
- A.3.2 Isomorfismo e Isometría ...................................................................................... 294
- A.3.3 Norma, inducida .................................................................................................... 295
- A.4 Valores Singulares ............................................................................................................ 296
- A.4.1 Definición .............................................................................................................. 296
- A.4.2 Propiedades y Aplicaciones ............................................................................... 297
B Modelos en variables de estado 301
- B .1 Controlabilidad ................................................................................... 301
- B.2 Estabilizabilidad .................................................................................................................. 303
- B.3 Observabilidad ................................................................................................................... 303
- B .4 Detectabilidad .............................................................................................. 304
- B.5 Realizaciones mínimas ....................................................................................................... 305
- B.6 Gramianos ............................................................................................................................ 310
- B.6.1 Propiedades de Gramianos .................................................................................. 310
- B.6.2 Aplicaciones .......................................................................................................... 311
- B.7 Interconexi6n de Sistemas ................................................................................................. 312
- B.7.1 Serie ......................................................................................................................... 312
- B.7.2 Cambio de variables .............................................................................................. 313
- B.7.3 Realimentación de estado . .... ............................................................................. 313
- B.7.4 Estimación del estado ........................................................................................... 313
- B .7.5 Sistema transpuesto ............................................................................................. 314
- B.7.6 Sistema con jugado-transpuesto ......................................................................... 314
- B .7.7 Paralelo ................................................................................................ 314
- B.7.8 Realimentación ...................................................................................................... 315
- B. 7.9 Inversa .................................................................................................................... 315
- B.8 Transforrnaci6n Lineal Fraccionaria ................................................................................ 316
C Ecuaciones matriciales 323
- C.1 Ecuación de Sylvester/Lyapunov ................................................................................... 323
- C.1.1 Planteo .................................................................................................................... 323
- C.1.2 Resolución ............................................................................................................. 324
- C.1.3 Aplicaciones .......................................................................................................... 325
- C.2 Ecuaci6n de R.iccati ........................................................................................................... 325
Índice de Figuras
- 1.1 Las tres fases del problema general de control .............................................................. 4
- 1.2 Lazo de control ................................................................................................................. 5
- 1.3 Sistema físico y modelo matemático .............................................................................. 5
- 1.4 Realimentación e Incertidumbre ..................................................................................... 6
- 1.5 Plantas inestables ............................................................................................................. 7
- 1.6 Familia de lazos de control .............................................................................................. 10
- 1.7 Compromisos surgidos de la realimentación ................................................................ 11
- 2.1 Sistema realimentado para analizar estabilidad interna nominal. . . ………… 18
- 2.2 Márgenes de fase y ganancia .......................................................................................... 20
- 2.3 Significado de los margenes de case y ganancia en términos de la in certidumbre .................... . 21
- 2.4 Ejemplo l ............................................................................................................................. 22
- 2.5 Caso de incertidumbre en la ganancia de lazo ............................................................. 22
- 2.6 Distribución "frecuencial" de la incertidumbre ............................................................ 24
- 2.7 Diagrama de Nyquist de la, familia de modelos ........................................................... 25
- 2.8 Familia de sistemas a. lazo cerrado con incertidumbre multiplicativa.. …….…25
- 2.9 Sistema de control perturbado a la, salida ...................................................................... 30
- 2.10 Distribución en frecuencias deseada para la sensibilidad S(s) .................................. 31
- 2.11 Sistema de control "aumentado" por pesos W d (s) y W y (s) ....................................... 31
- 2.12 Diagrama de Nyquist para performance nominal .......................................................... 33
- 2.13 Sistema realimentado general .......................................................................................... 34
- 2.14 Diagrama inverso de Nyquist para Performance nominal ........................................... 35
- 2.15 Perturbación a la salida sobre una familia de modelos con incertidum bre multiplicativa ................. 36
- 2.16 Diagrama de Nyquist Para. Performance Robusta ........................................................ 37
- 2.17 Performance robusta como Estabilidad robusta de modelos con incer tidurnbre estructurada ........ 38
- 2.18 Estabilidad robusta estructurada agregando la "incertidumbre" d 2 ……. 39
- 2.19 Ejemplo multivariable ......................................................................................................... 40
- 2.20 Análisis de lazos de control por separado ..................................................................... 41
- 2.21 Zonas de estabilidad-inestabilidad ................................................................................... 42
- 2.22 Valores singulares del lazo L(s) (s)K(s) G (s) K (s) ...................................................... 43
- 2.23 Valores singulares de la matriz de Sensibilidad ............................................................. 44
- 2.24 Valores singulares de la matriz de Sensibilidad complementaria. . . ................ 44
- 3.1 Problema de seguimiento robusto .............................................................................. 48
- 3.2 Planteo canónico del problema ................................................................................... 49
- 3.3 Incertidumbre en el modelo de los actuadotes ......................................................... 54
- 3.4 Conversión de incertidumbre de entrada a salida .................................................... 56
- 3.5 Diseño por `Loop shaping" ......................................................................................... 59
- 4.1 Estructura regulador-observador ................................................................................. 65
- 4.2 Incorporación de perturbaciones de dinámica conocida ........................................ .. 69
- 4.3 Márgenes de fase y ganancia para el regulador LQR.. 81
- 5.1 Controlador optima LQG - LQR - FKB ........................................................................... 91
- 5.2 Valores singulares de la matriz G(jw )G r ) (reducción de 23 a 13 estados) 95
- 5.3 Valores singulares de la incertidumbre multiplicativa ?( jw ) ................................... . 96
- 5.4 Restricciones sobre el lazo de control L(jw) y valores singulares de G a L ( jw ) ................. 97
- 5.5 Valores singulares del lazo "objetivo" L * .. ( jw ) ....................................................... 98
- 5.6 Valores singulares del lazo G( jw )(I/ jw )K( jw ) utilizando el modelo completo de la planta ......... 100
- 5.7 Superficies de vuelo y geometría vertical .................................................................. 104
- 5.8 Especificaciones en forma de desigualdades ........................................................... 104
- 5.9 S istema general de control ............................................................................................ 105
- 5.10 Valores singulares de S o (jw) y T o (jw) resultantes .......................................................... 1.07
- 5.11 Respuestas a comandos de 0.1 rad/s en 8 y 0 .......................................................... 108
- 6.1 Planta general 113
- 6.2 Estructura del lazo de realimentación ........................................................................ 118
- 6.3 Interrelaci6n entre los casos 1.A y 2.A ..................................................................... 122
- 6.4 Conexi6n entre G 2.4 (s) Y P 2,A (s) .............................................................................. .. 122
- 6.5 G(s) puesta como la LFT F! [G, (s).G tmp ,(s)] ................................................. 125
- 6.6 Familia de controladores subóptimos en H x ... ............................................. 131
- 6,7 Estructura "aumentada" por los pesos W 1 (s) y W 2 (s) ......................................... 133
- 6.8 Costos "7016 ? T =w ( jw )] para optimos en H 2 y H 8 ............................................... 134
- 6.9 “ 7016 ? S =w ( jw )] para óptimos en H 2 Y H 8 ...................................... 134
- 6.10 "7016a F [T 0 (Jw)] para óptimos en H2 y H 8 ............................................................ 135
- 7.1 Espacios controlable y observable ............................................................................ 139
- 7.2 Interpretaci6n del operador de Hankel ...................................................................... 151
- 8.1 Realimentación de estado para obtener una. descripción fraccional derecha .................. 180
- 8.2 Realimentación de salida para obtener una descripción fraccional coprima derecha ........ 181
- 8.3 Observación del estado para obtener una descripción fraccional izquierda .................... 183
- 8.4 Estructura. regulador + observador de un control estabilizante ............................ .. 184
- 8.5 Estabilidad interna ......................................................................................................... 187
- 8.6 Planteo general del controlador .................................................................................. 193
- 8.7 Controlador de dos grados de libertad ...................................................................... 194
- 8.8 Perturbaciones inestables a la salida ......................................................................... 196
- 9.1 Modelo de actuadores, planta y sensores con sus respectivas incerti dumbres 207
- 9.2 Análisis Robusto .......................................................................................................... . 208
- 9.3 Equivalencia entre performance y estabilidad robustas ........................................ .. 214
- 9.4 Análisis de performance robusta ................................................................................ .. 215
- 9.5 Sistema nominal y estructura de incertidumbre paramétrica .................................. .. 217
- 9.6 n T P , (jw) > 0 si y solo si el ángulo entre rl y cada vértice de la imagen
- esta en (- p ,-/2,7r/2) 224
- 9.7 Imagen del dominio 'H a través de una función multilíneas compleja………. 228
- 9.8 Crecimiento de la imagen con la variable k ................................................................... 230
- 9.9 Contacto de la imagen con el origen en un vértice .................................................. 231
- 9.10 Contacto de la imagen con él origen en una Iota superior ...................................... 232
- 9.11 Vértices críticos AI1,11I; y partición del hipercubo ............................................................ 232
- 9.12 Imágenes de funciones polinomiales en los o ……………………………………………………...... 234
- 9.13 Dominio e imagen (rayados) en el caso de parámetros repetidos. . ……… . 235
- 9.14 Combinación de incertidumbres dinámicas y parametricas ..................................... 239
- 9.15 Incertidumbres parametricas y dinámicas estructuradas ......................................... 243
- 10.1 Parámetros de una aeronave genérica ............................................................................ 248
- 10.2 Foto del X29 ....................................................................................................................... 249
- 10.3 Sistema de inyección de combustible ............................................................................. 255
- 10.4 Salida real vs. simulación .................................................................................................. 2.5
- 10.5 Transferencias e incertidumbres a distintas temperaturas .......................................... 256
- 10.6 Diagrama en bloques del problema ................................................................................. 257
- 10.7 Transformación lineal fraccionaria entre sistema y control ......................................... 257
- 10.8 Control Optimo en 'H,: Respuestas simuladas .............................................................. 259
- 10.9 Control Óptimo LQR.: Respuestas experimentales ....................................................... 260
- 10.10 Control Óptimo en 7-1 : Respuestas experimentales .................................................. 260
- 10.11 Parámetros del trasbordador (Ilustración de John C. Doyle) .................................... 261
- 10.12 Diagrama en bloques general ......................................................................................... 262
- 10.13 Comparaci6n de señales de error ................................................................................... 264
- 10.14 Comparación de señales de control .............................................................................. 265
- 10.15 Aproximación por splines y Pade ............................................................................... 269
- 10.16 Predictor de Smith ............................................................................................................ 270
- 10.17 Predictor expresado en base al modelo I\IC ................................................................. 270
- 10.18 Incertidumbre en el retardo ............................................................................................ 272
- 10.19 Condiciones de Performance y Estabilidad ................................................................. 275
- 10.20 Respuesta al escalón ....................................................................................................... 276
- 10.21 Columna de destilación ................................................................................................... 278
- 10.22 Diseño por Modelo interno (IMC) ................................................................................ 280
- 10.23 Diseño Proporcional-Integral (PI) ................................................................................. 281
- 10.24 Descripción total del sistema .......................
- 10.25 Medidas de performance v estabilidad ....................................................................
- 10.26 Diseño robusto ............................................................................................................... 281
- A.1 Sucesión no convergente en espacio de funciones ........................................................ 290
- A.2 Transformación lineal ............................................................................................................. 292
- A.3 Rango y Núcleo de una transformaci6n ............................................................................ 293
- A.4 Controlabilidad ...................................................................................................................... 294
- A.5 Observabilidad ....................................................................................................................... 294
- B.1 Gramiano de controlabilidad ............................................................................................. 303
- B.2 Gramiano de observabilidad ............................................................................................. 305
- B.3 Subespacio controlable ..................................................................................................... 307
- B.4 Subespacio observable ..................................................................................................... 308
- B.5 Descomposición del sistema en subespacios ................................................................ 308
- B.6 Conexión serie ..................................................................................................................... 312
- B.7 Conexión paralelo ............................................................................................................... 314
- B.8 Realilnentaci6n .................................................................................................................... 315
- B.9 Ejemplo 1: Transformación bilineal .................................................................................. 317
- B.10 Estructura general de control robusto .......................................................................... 317
- B.11 Interconexión inferior F, [P(s), K(s)] ................................................................................ 318
- B.12 Interconexión superior F„ [P(s), A] ................................................................................ 318
- B.13 Interconexión de bloques de una TLF .......................................................................... 319
- B.14 Ejemplo 2: Seguimiento robusto ..................................................................................... 320
- B.15 Ejemplo 3: Parametrizacion de controles estabilizantes .............................................. 321
Índice de Tablas
2.1 Descripciones de incertidumbre dinámica global. Condiciones equiva lentes de Estabilidad robusta ...... 29
4.1 Dualidad entre regulación y observación optimas ........................................................... i S
- 10.1 Parámetros del avión ........................................................................................................ 250
- 10.2 Elementos de las matrices K a (s) Y K b (s) ...................................................................... 252
- 10.3 Condiciones de linealizacion ........................................................................................... 252